[2016년 정발고]

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[2학년(이과) 1학기 기말 미적분1]

함수 [eqn: f(x)=4x^2 -6x +3]에 대하여 [eqn: f` prime (2)]의 값은? [3.8점]

④

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rm P]의 시각 [eqn: t]에서의 속도가
[eqn: v(t)=3t ^{2} -6t]
일 때, 시각 [eqn: t=1]에서 [eqn: t=3]까지 점 [eqn: rmP]가 움직인 거리는? [3.9점]

②

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 16]

함수 [eqn: f(x)=x ^{2} -3x+4]에 대하여 구간 [eqn: [-1,```4]]에서 롤의 정리를 만족하는 상수 [eqn: c]의 값은? [4.0점]

⑤

① [eqn: 0]	② [eqn: { 1} over {2 }]	③ [eqn: { 2} over {3 }]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: { 3} over {2 }]

삼차함수 [eqn: f(x)=- {1} over {3} x ^{3} +ax ^{2} -(5a-4)x+2]가 [eqn: x _{1} <x _{2}]인 임의의 실수 [eqn: x _{1}], [eqn: x_2]에 대하여 [eqn: f(x_1 ) >f(x_2 )]가 되기 위한 실수 [eqn: a]의 값의 범위는? [4.1점]

②

① [eqn: 1<a <4]	② [eqn: 1 le a le 4`]	③ [eqn: 2 le a le5]

④ [eqn: 4< a<6]	⑤ [eqn: 4 le a le6]

미분가능한 함수 [eqn: f(x)]와 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: [ left{ f(x) right}^n ]' =n left{ f(x) right} ^n-1 f`'(x)]
임을 수학적 귀납법을 이용하여 증명한 것이다. 빈칸 (가)와 (나)의 곱을 구하면? [4.2점]

①

(ⅰ) [eqn: (좌변)=left{f(x) right} ' = f` '(x)]
[eqn: (우변)=1 times left{f(x) right}^1-1 f'(x) =f`'(x)]

(ⅱ) [eqn: [ LEFT { f(x) RIGHT } ^{k} ] prime =k LEFT { f(x) RIGHT } ^{k-1} f` prime (x)]이 성립한다고

가정하면
[eqn: [left{f(x) right} ^k+1 ] ' = [left{f(x) right}^ k f(x) ]']
[eqn: = BOX{`````(가)`````} TIMES f` prime (x)f(x)+ LEFT { f(x) RIGHT } ^{k} f` prime (x)# = BOX{`````(나)`````} TIMES f` prime (x)`]

그러므로 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 성립한다.

① [eqn: k(k+1 )left{ f(x) right} ^2k-1]	② [eqn: k(k+2) LEFT { f(x) RIGHT } ^{2k-1}]

③ [eqn: k(k+1) LEFT { f(x) RIGHT } ^{2k}]	④ [eqn: k(k+1 )left{ f(x) right} ^2k]

⑤ [eqn: k(k-1) LEFT { f(x) RIGHT } ^{2k+1}]

원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rm P]의 시각 [eqn: t]에서의 위치 [eqn: x]가 [eqn: x=t ^{3} -2t ^{2} +t]일 때, 보기 중 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: t GEQ 0]) [4.3점]

③

ㄱ. 점 [eqn: RMP]가 출발할 때의 속도는 [eqn: 1]이다.

ㄴ. 점 [eqn: RMP]는 움직이는 동안 방향을 한 번 바꾼다.

ㄷ. 점 [eqn: RMP]는 다시 원점을 지난다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

방정식 [eqn: x ^{3} -3x-k+2=0]이 서로 다른 두 개의 음근과 한 개의 양근을 가질 때, 상수 [eqn: k]의 값의 범위는? [4.4점]

⑤

① [eqn: k<0`] 또는 [eqn: k> 4]	② [eqn: 0<k <1]

③ [eqn: 0<k<2]	④ [eqn: 0<k<4]

⑤ [eqn: 2<k<4]

세 실수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c(a<b<c)]에 대하여 사차함수 [eqn: f(x)]의 도함수가 [eqn: f` prime (x)=-(x-a)(x-b)(x-c)]이고 [eqn: f(a)>0], [eqn: f(b) <0], [eqn: f(c) =0]일 때, 방정식 [eqn: f(x) =0]의 서로 다른 실근의 개수는? [4.4점]

④

① [eqn: 0]개	② [eqn: 1]개	③ [eqn: 2]개

④ [eqn: 3]개	⑤ [eqn: 4]개

함수 [eqn: f(x) = sqrt { 2x]와 함수 [eqn: g(x) = { 1} over {2 }x^2 ~(x ge 0)]로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하면? [4.5점]

③

① [eqn: { 2} over { 3}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: { 4} over {3 }]

④ [eqn: { 5} over {3 }]	⑤ [eqn: 2]

모든 실수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여 [eqn: f(x+y) =f(x) +f(y) +2xy]를 만족하는 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 있다. [eqn: f`'(0) =3]일 때, [eqn: f(1) `]의 값은? [4.5점]

④

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수 [eqn: f(x)]가 다음 두 조건을 모두 만족할 때, [eqn: f(-1)]의 값은? [4.5점]

①

가. [eqn: lim_x->1 { { int _1 ^x {f(t) dt}} over {x-1 } =1 `]

나. [eqn: int_0 ^1 {f(x) `dx =0]

① [eqn: -{ 1} over {3 }]	② [eqn: -{ 1} over {6 }]	③ [eqn: { 1} over {6 }]

④ [eqn: { 1} over {3 }]	⑤ [eqn: { 2} over {3 }]

임의의 실수 [eqn: x]에 대하여 다항함수 [eqn: f(x)]가
[eqn: f(x) = { d} over {dx } int_1^x {x (2t +1) dt]
을 만족시킬 때, [eqn: f(2)]의 값은? [4.6점]

⑤

① [eqn: 10]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 14]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식 [eqn: x^4 -3 ge 4a^3 x -6]이 항상 성립하는 정수 [eqn: a]의 개수는? [4.6점]

③

① [eqn: 1]개	② [eqn: 2]개	③ [eqn: 3]개

④ [eqn: 4]개	⑤ [eqn: 5]개

[eqn: lim_n->inf { { (1^3 +2^3 +cdots + n^3 ) } over {(1^5 + 2^5 + cdots +n^5 ) } (1+2+cdots +n)]의 값을 구하면? [4.7점]

②

① [eqn: { 2} over { 3}]	② [eqn: { 3} over {4 }]	③ [eqn: { 5} over { 4}]

④ [eqn: { 4} over {3 }]	⑤ [eqn: 2]

함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 함수 [eqn: f(x) =x^3]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: a]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: b]만큼 평행이동한 그래프이다. [eqn: g(2a) =0], [eqn: int _0^a {f(x) dx -int _a ^2a {g(x)dx =16]일 때, [eqn: a-b]의 값은? (단, [eqn: a]는 양수, [eqn: b]는 실수이다.) [4.7점]

③

① [eqn: 2]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 20]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 사차함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=3]에서 극값을 갖고, [eqn: y=|`f(x)-f(2) `|]은 오직 [eqn: x=a (a>3)]에서만 미분가능하지 않을 때, [eqn: f(3) -f(2)]의 값은? [4.8점]

②

① [eqn: -{2} over {3 }]	② [eqn: -{ 1} over {3 }]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: { 1} over { 3}]	⑤ [eqn: { 2} over {3 }]

서술형

곡선 [eqn: y=x^3 +1] 위의 점 [eqn: (-1,```0)]에서의 접선과 이 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하는 과정이다. 다음 물음에 답하시오. [총 10.0점]

(1) [eqn: y=3x +3]

(2) [eqn: { 27} over {4 }]

(1) 곡선 위의 점 [eqn: (-1,```0)]에서 접선의 방정식을 구하는

과정과 답을 서술하시오.  [4.0점]

(2) 곡선 위의 점 [eqn: (-1,```0)]에서의 접선과 이 곡선으로 둘러싸인

도형의 넓이를 구하는 과정과 답을 서술하시오. [6.0점]

삼차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 그림과 같을 때 다음 물음에 답하시오. [10.0점]

(1) [eqn: f(x) =-x^3 +3x -1 `]

(2) [eqn: f`'(1) times 1 =0]

(1) 함수 [eqn: f(x)]를 구하는 과정과 답을 서술하시오. [6.0점]

(2) [eqn: lim _{h -> 0} {{f(1+3h+2h ^{2} )-f(1+2h)} over {h} }]를 구하는 과정과 답을

서술하시오. [4.0점]

함수 [eqn: f(x) =x^2 +ax +b (b>0 )]가 있다. 그림과 같이 [eqn: 2] 이상인 자연수 [eqn: n]에 대하여 폐구간 [eqn: [0,```1]]을 [eqn: n]등분한 각 분점(양끝점도 포함)을 차례로
[eqn: 0=x _{0} ,```x _{1} ,```x _{2} ,``` CDOTS ,~x _{n-1} ,```x _{n} =1]
이라 하자. 폐구간 [eqn: [x_k-1 ,```x_k ]]를 밑변으로 하고 높이가 [eqn: f(x_k )]인 직사각형의 넓이를 [eqn: rmA_k]라 하자. ([eqn: k=1,```2,``` CDOTS ,```n]) 양 끝에 있는 두 직사각형의 넓이의 합이 [eqn: A _{1} +A _{n} = {8n ^{2} +n+1} over {n ^{3}}]일 때, 다음 물음에 답하시오. [총10.0점]

(1) [eqn: f(x) =x^2 +x +3]

(2) [eqn: { 7} over {6 }]

(1) 함수 [eqn: f(x)]를 구하는 과정과 답을 서술하시오. [5.0점]

(2) [eqn: lim_n->inf sum_k=1^n {left{ f(x_k ) -f(x_k-1 ) right} { k} over { n}]의 값을 구하는 과정과 답을

서술하시오. [5.0점]

[2016년 정발고]

[2학년(이과) 1학기 기말 미적분1]

오타, 오류, 문의사항 : hansungeun@gmail.com